这题可以用反证法证明，如果证不出来，就是题出错了。
也就是说这题是利用特殊梯形出的题，
删减条件，未必能保证条件充要。
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FROM 114.254.1.*

答案

BE \perp BD

解析

1. 延长线段构造全等三角形

延长EB至F，使BF = BE，连接CF和DF。

∵B为AC的中点，∴AB = BC。

在\triangle ABE和\triangle CBF中：

  ? AB = CB（中点性质）

  ? \angle ABE = \angle CBF（对顶角相等）

  ? BE = BF（构造辅助线）

∴\triangle ABE \cong \triangle CBF（SAS），故AE = CF。

2. 利用已知条件推导边关系

已知AE + CD = DE，又AE = CF，∴CF + CD = DE。

观察\triangle EBD和\triangle FBD：

  ? BE = BF（构造辅助线）

  ? BD为公共边

  ? 若DE = DF，则\triangle EBD \cong \triangle FBD（SSS）。

由CF + CD = DE，得DF = DE。

3. 角度关系推导垂直

∵\angle BDC + \angle BED = 90^\circ，且\triangle ABE \cong \triangle CBF，∴
\angle BED = \angle BFC。

又DE = DF，∴\angle DEF = \angle DFE。

在\triangle EDF中，\angle BED + \angle DEF + \angle DFE + \angle BFC = 180^\
circ。

代入已知得2(\angle BED + \angle DEF) = 180^\circ，即\angle DEF + \angle BED
= 90^\circ。

在\triangle EBD中，\angle EBD = 180^\circ - (\angle BED + \angle BDE) = 90^\
circ，故BE \perp BD。

综上，答案是BE \perp BD。


【 在 zixuetong 的大作中提到: 】
: 感觉少了个条件，<EAC + <DCA = 180度，然后倍长中线可解
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FROM 112.2.125.*

真优秀啊

【 在 hound 的大作中提到: 】
: 数之谜上的解答，用到双曲线和轨迹

- 来自 水木说
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FROM 117.136.0.*

看起来像是垂直关系
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FROM 114.246.108.*

因为ACDE是凸四边形，容易证明当∠AEB≥90°时，必有∠BDC+∠BED＞90°。
因此题设条件下必有 ∠AEB＜90°

笨办法，证明只有当∠BED=∠AEB时，才有∠BDC+∠BED=90°。

【 在 rdf2027 的大作中提到: 】
: 这是老师自创的一道题，给我们做，做不出来，帮忙看看，
:

[upload=1][/upload]


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修改:laofu FROM 120.229.34.*
FROM 120.235.172.*