宏观尺度计算模拟
在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本方程和边界条件还是比较容易的，但是由于其几何形状、材料特性和外部荷载的不规则性，求得解析解却是很困难的．因此，寻求近似解法就成了必由之路．经过多年的探索，近似算法有许多种，但常用的数值分析方法就是差分法和有限元法．
一、有限差分方程
在初等数学中．我们介绍了代数方程和超越方程。这些方程无论在理论上还是在实际应用上都非常重要。在高等数学里．我们还介绍了常微分方程。它更是人们解决实际问题的一个有力工具．因为许多自然科学定律都可以用微分方程加以描述。但在科学技术中．也有一些问题却可归结为与代数方程、常微分方程不同的另一种形式的方程。下面便是一个最简单的例子。
例．某工厂为发展生产向银行贷款M万元，并按合同规定，厂方应在N个月内按月等额归还本息。假定月利率为P，问厂方每月的还款额是多少?
设厂方每月向银行归还x元，经过n个月后厂方欠银行的金额为yn元。那么：
y0=M,
y1=(1+P)M-x,
y2=(1+P)y1-x,
一般地：
yn+1=(1+P)yn-x。 (n=0,1,…,N-1)
显然．如果求得yn用P和x表示的表达式，那么就可求得x。
显然数列实际上是定义在自然数集N上的函数．因此递推关系式是一种特殊的函数方程。在数学中我们常将这种方程称为有限差分方程或简称为差分方程，有时也称为递推方程。这样例所得的方程便是差分方程。
差分方程是与常数微分方程相平行的一个数学分支，它的建立与完善可以追溯到很早年代。历史上许多著名数学家，如Euler、Poincare等都对这个理论作出过许多贡献。现在它不但在数值分析、计数理论和特殊函数论中有着广泛的应用，而且由于计算机的迅速发展，已成为现代控制论、通讯理论等方面的重要数学工具。因为在现代控制论中，随着控制系统复杂性的增加、最优状态的严格要求以及经济上的原因，以数字计算机为核心构成的数字控制器已被广泛应用。数字控制器由采样器、模拟数字转换器(ADC)、数字计算机、数字模拟转换器和保持电路组成。它的特点是接受短脉冲形式的数据，并产生与控制信号相类似的输出信号。这种系统常称为采样数据控制系统。它的数学模型就是差分方程。由于这种系统使用了数字计算机技术，因此在现代复杂控制系统、高精度控制系统、远距离数据传输系统以及雷达跟踪系统等技术领域都被广泛地应用着。因此。差分方程也就成为从事这方面工作的科技人员必须熟悉的数学工具。
此外，由于这个理论也常和有限项级数，特别是高阶等差级数的求和有关，因此，它的一些最简单的内容也常为许多中学生所熟知。
事实上，中学数学中公比为q的等比数列{an},就满足差分方程:
an =qan-1 (n≥1)
而等差数列{bn}满足差分方程 :
bn-2-bn-1=bn-1-bn
或
bn-2=2bn-1-bn (n≥0)
差分法计算模型可给出其基本方程的逐点近似值(差分网格上的点)．但对于不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件差分法就难于应用了。
二、有限元法
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法．是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具．最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应力，它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值分析技术；后来由于这一方法的灵活、快速和有效性，使其迅速发展成为求解各领域的数理方程的一种通用的近似计算方法．目前，它在许多学科领域和实际工程问题中都得到广泛的应用，因此，在工科院校和工业界受到普遍的重视．
数值分析的任务，就是从无限维空间转化到有限维空间，把连续体转变为离散型的结构。有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的，也就是说，有限元方法依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系是具有微小支集的函数系，这样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变量的相互依赖关系。任何一个局部地点，它的影响函数和影响区域，正是基函数本身和它的支集。在线性力学范畴里，场内处于不同位置的力相互作用产生的能量，可用双线性泛函B(φi ,φj)来表示，其中φi ,φj正是相应地点的基函数。B(φi ,φj)的大小与φi ,φj支集的交集大小有关，如果两个支集的测度为零，则B(φi,φj)=0，因此，离散化所得到的方程其系数矩阵是稀疏的。若区域分割细小化，则支集不相交的基函数对愈多，矩阵也就愈稀疏。这给数值解法带来了极大的方便。
有限元法把求解区域看作由许多小的在节点处互相连接的子域(单元)所构成，其模型给出基本方程的分片(子域)近似解．由于单元(子域)可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。
材料微结构计算模拟
快速博立叶变换(FFT)
快速傅立叶变换(FFT)是在计算机上快速运算离散傅立叶变换(DFT)的一种方法。由前一节我们知道，应用离散傅立叶变换(DFT)来求任意一个频率分量，需要进行N2次复数的乘加运算，而快速傅立叶变换(FFT)只需进行Nlog2N次运算，FFT与DFT相比较，运算量将大大减少。
快速傅立叶变换(FFT)的主要想法，是将长序列的复数乘加运算，变成短序列的复数乘加运算。也就是将时间序列或频谱序列分成若干个小组进行DFT运算。小组的分法很多，最早出现的比较快的分组方法是库利一图基(Cooley－Tukey)方法。所以，关于FFT的算法也很多，而且还在发展。这些算法一般都具有计算量为Nlog 2N这个特点，故统称为FFT(Fast Fourier Transform)。
FFT的算法按照序列排列形式的不问可以分为两类，其一称即位法，其中包括输入自然序列，输出混序；输入混序，输出自然序列两种。另外－种称为自然输入、输出方法。这两种方法各有优缺点。此外，完成FFT计算，可以有不同的方式。不论你采取哪种方式。其结果都是相同的，只是运算的速度不同罢了。
广延X射线吸收精细结构(EXAFS)
EXAFS是研究物质结构、近邻原子作用的一个重要手段，是用来进行定量的结构分析的一个有效方法，它可以提供其他方法难以得到的某些结构信息，例如近邻原子的配位数、原于间距、热扰动等。尤其重要的是，用EXAFS研究物质结构时，并不要求研究对象必须具有长程有序的结构。因此，可广泛地用于研究晶态和非态的各种固体、液体甚至气体材料，如生物分子，催化剂，金属玻璃等。由于EXAFS所具有的特点，在固体物理、表面物理、生物化学、材料科学等许多领域有着广阔的应用前景，正日益受到人们的重视。
EXAFS的数据分析是EXAFS研究及实际应用中的一个不可缺少的组成都分，只有通过对EXAFS实验数据的处理分析才能得出研究对象的结构参数。因而，EXAFS数据处理的方法也就成了EXAFS研究中的一个重要内容，它涉及计算物理的各个方面。从EXAFS的发展过程也能看出数据处理对EXAFS研究的重要性。七十年代，EXAFS理论有了进一步的完善，虽然获得了EXAFS的定量表示式，但是从实验数据得出比较准确的结构参数却是依赖于后来在数据处理中应用的傅里叶变换和曲线拟合技术的成功。目前EXAFS的数据处理已经相当成熟，但是方法中仍有一些问题，如背景扣除，权重因子和能量域值的选取等，还值得进一步研究和探讨。
EXAFS数据处理方法基本上可分两种，一种是快速傅里叶变换方法或标样对比法，另一种是曲线拟合法(Curve Fitting Technolegy简称CFT或CF)。
Rietveld精化法
大约25年前，Rietveld(1967，1969)已经认识到可以用一个数学表达式来表示中子粉末衍射花样中每一步的测量强度Ic
计算强度的这种表达式Ic包括两部分，一部分来自背景(Ib)，另一部分来自每一个布拉格反射，这些反射在衍射花样采样点附近。这些分量中的每一个都用一个数学模型来描述，这个模型具体体现了粉末衍射实验的晶态和非晶态特征。这个模型的可调参数可以通过测量和计算强度的加权差的最小二乘法处理来精化。分析粉末衍射花样的这种方法相当地成功，它导致了粉末衍射技术的复兴，这种方法现在称为“Rietveld精化法”。以后，它又被推广到处理中子TOF数据(VonDreele等，1982)和x射线粉末衍射数据(Young等，1977；Wiles和Young，1981)。
MonteCarlo方法
所谓蒙特卡罗方法，就是根据待求随机问题的变化规律，根据物理现象本身的统计规律。或者人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求问题的解。它又称随机抽样技巧或统计试验方法。二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并且在核武器的研制中首先得到了应用。目前这一方法已广泛运用到物理学的许多领域。甚至像系统工程、科学管理、生物遗传、社会科学等学科领域也采用了这种研究方法。这些都充分表现出这种方法完全区别于其他的方法，具有独特功能和优越性。然而蒙特卡罗方法的基本思想并非新颖，还在很早以前，人们在生产斗争和科学试验中就已发现，并已加以利用。例如，早在十七世纪，人们就知道了按频数来决定概率的方法。伯努利(J.Bernoulli)在他所著的《推测术》(Ars Conjectandi)一书中就曾说过这个方法“并不新鲜也不特别”，他还说：“每个人都明白，要作这种关于某种现象的推断，作一、二次观察是不够的，而需要作大量的观察，……这种观察越多，则达不到目的的危险就越小。”
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