- 主题:一道上海邱班入学试题
有一个平面上，有101条直线能拼成锐角三角形最多为多少个？
怎么解？
发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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修改:hound FROM 114.93.82.253
FROM 114.93.82.253
先求线的交点最多有多少。然后求组合？
印象中小奥有类似的题目？
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修改:navyyang FROM 183.192.47.*
FROM 183.192.47.*
没太看明白，能完整讲一下么
【 在 navyyang 的大作中提到: 】
: 先求线的交点最多有多少。然后求组合？
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: 印象中小奥有类似的题目？
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发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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FROM 114.93.82.253
想出来了。
设一共有2n+1条直线，考察非锐角，每条直线与其相交的直线有2n个，其中此直线参与构成三角形且其是非锐角的一边的情况最少2C(n,2)，所有边都累计2(2n+1)C(n,2).由于非锐角有两条边，算了2次，所以非锐角角三角形最少(2n+1)C(n,2) (一个三角形最多一个非锐角）。答案是C(2n+1,3)-(2n+1)C(n,2)。
等号可以取到，设想一个圆被2n+1个直径平分，然后适当平行移动这些直径直线即可。
偶数情况类似推广。
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 有一个平面上，有101条直线能拼成锐角三角形最多为多少个？
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: 怎么解？
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: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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修改:hound FROM 114.93.82.253
FROM 101.90.148.15
此直线参与构成三角形且其是非锐角的一边的情况最少2C(n,2)
这句话能解释一下吗？
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 想出来了。
: 设一共有2n+1条直线，考察非锐角，每条直线与其相交的直线有2n个，其中此直线参与构成三角形且其是非锐角的一边的情况最少2C(n,2)，所有边都累计2(2n+1)C(n,2).由于非锐角有两条边，算了2次，所以非锐角角三角形最少(2n+1)C(n,2) (一个三角形最多一个非锐角）。答案是C(2n+1,
: 3)-(2n+1)C(n,2)。
: ...................
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FROM 58.217.167.*
固定一条直线L，设另外一直线Li与其交于Ki点，直线L绕Ki点旋转ai角与Li重合，0<ai<pi.
任选2条直线Li,Lj与L构成三角形, 如果是钝角三角形，且L是钝角的一边，可以画图看出当且仅当ai aj同时落在(0,pi/2)或(pi/2,pi).
设前一区间有p条，后一区间有q条。p+q=2n, L参与的钝角C(p,2)+C(q,2)个，当p=q=n时最小。
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 此直线参与构成三角形且其是非锐角的一边的情况最少2C(n,2)这句话能解释一下吗？ ...
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修改:hound FROM 49.93.2.185
FROM 193.176.211.180