集合A满足：
①0,1∈A；
②任意a,b∈A，a-b∈A；
③任意a∈A，a≠0，1/a∈A

求证:任意a,b∈A，ab∈A

证明梗概


从②设a=0，得
④任意b∈A，-b∈A；
从②④得
⑤任意a,b∈A，a+b∈A；
从③⑤得
⑥任意a∈A，n∈N，1/(N/a)=a/N∈A；

从②③得
⑦任意x≠0，x≠1，1/[1/(x-1)-1/x]=1/[1/(x^2-x)]=x^2-x∈A；
⑧任意x≠0，x≠1，x^2∈A；
从⑥⑧得
⑨任意a,b∈A，ab=[(a+b)^2]/2∈A


主要疑问是⑦这个技巧，有没有其他路径避开
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高中3年级
【 在 U2000 的大作中提到: 】
: 这是什么年级的题目？
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证乘积通过平方这步我知道叫配极原理，用处很大。

我想知道有没有能不采用这第七步——就是这个平方差倒数分解式的证法。

不是说他难，而是说这道题是不是本质上依赖于这个步骤
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: ⑦不算难吧。我是这么想的：
: 由题目容易看出来 a^2 也 ∈A，而且只要证明了a^2∈A，ab=[(a+b)^2-a^2-b^2]/2自然也能证明。
: a^2∈A 不能直接证，那么看一下 1/a^2，也不能直接证。但，马上就能想到 1/(a^2-1) 可以分解成 1/(a-1) + 1/(a+1) 这样的形式，就可以证了。
: ...................
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