ABC猜想与遍历理论之间存在深刻而活跃的联系，但这是一种高度非平凡的联系，建立在现代数学的两个前沿领域——算术动力系统与遍历论的交叉点上。
1. 核心桥梁：算术动力系统
算术动力系统 是动力系统理论在数论中的应用。基本思想是：
考虑一个定义在有理数域 QQ 上的动力系统，例如一个多项式映射 f:P1→P1f:P1→P1 的迭代。
研究有理点在迭代下的分布、轨道高度增长、周期性等算术性质。
ABC猜想本质上是一个算术不等式，限制了三元数组 (a,b,c)(a,b,c) 的素因子结构与大小之间的关系。在算术动力系统中，类似的现象出现在点的高度函数与轨道中的素因子局部贡献（即“坏约化”位置）的平衡中。
2. 具体联系的表现
(1) 类比：高度不等式
在ABC猜想中，对 a+b=ca+b=c，我们有：
logmax(∣a∣,∣b∣,∣c∣)≤(1+ε)lograd(abc)+Oε(1)
logmax(∣a∣,∣b∣,∣c∣)≤(1+ε)lograd(abc)+Oε(1)
在算术动力系统中，对于一个态射 ff 和点 PP，其典范高度 h^f(P)h^f(P) 满足类似的不等式：它等于各局部高度的和，而局部高度在“坏约化”的素数处有下界约束。这启发人们将ABC猜想视为一种“全局-局部高度不等式”的算术对应。
(2) 马瑟（Masser）的类比猜想
数论家D. W. Masser曾提出，在多项式动力系统中，点的最小分解域次数与高度之间可能存在类似ABC猜想的约束，这进一步将ABC型不等式推广到更一般的算术几何对象。
(3) 遍历理论与算术动力系统的测度
在遍历理论中，我们研究动力系统在相空间上的不变测度。对于算术动力系统，可以在Berkovich空间等非阿基米德空间中构造这样的测度，并研究其与数论不变量（如局部贡献、高度）的关系。某些ABC型不等式可以解释为这些测度在算术曲面上的分布性质。
(4) 近期突破：Kontsevich–Zorich猜想与ABC
最近的研究（如K. Soundararajan、P. Vojta等人的工作）表明，ABC猜想可以与Teichmüller动力系统（尤其是模空间的叶状结构）联系起来。在这种框架下，ABC猜想的反例可能对应于某些遍历不变测度的异常行为，而对这些测度的分类（通过Kontsevich–Zorich猜想等）排除了这种异常，从而支持ABC猜想。
3. 一个关键思想：Vojta的字典
数论家P. Vojta建立了一个著名的“字典”，将数论中的丢番图不等式（如ABC、Mordell猜想）与复几何中的高度不等式（如Nevanlinna理论、双曲几何）对应起来。在这个框架下：
ABC猜想对应于对数一般型曲面上的一个“第二个主定理”型不等式。
遍历理论在这里的作用是研究这些几何对象上测度的分布和极限行为，从而给出丢番图点集的稀疏性结果。
4. 重要进展示例
2010年代以来，一些数学家尝试用动力系统/遍历方法研究ABC猜想的相关问题，例如：
椭圆曲线的情形：ABC猜想对任意椭圆曲线的一个推广（Szpiro猜想）等价于椭圆曲线的最小模型的高度有界。这可以通过研究模曲线上的动力系统来探讨。
多项式情形已证明：在函数域（多项式环）上，ABC猜想已有证明（Mason–Stothers定理），而该证明可以完全通过多项式迭代的动力系统观点重新解释，这启发人们对数域情形寻找类似结构。
总结
ABC猜想与遍历理论的联系是间接但深刻的：
它们通过算术动力系统这一桥梁相互影响。
ABC猜想可以视为一种算术高度不等式，而遍历理论提供了分析动力系统中点的分布和测度的方法，从而有助于理解高度不等式的整体行为。
目前，这种联系尚未导致ABC猜想的完整证明，但它提供了新的视角和工具，是当前研究的一个活跃方向。
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