对于无限分问题
我家孩子前几天也有类似的疑惑
你也可以换个思路给你家孩子解释 我给你提供一种思路
前几天他对阿基米德用无限偶数等分圆的旋转算球表面积那个方式产生了疑惑
他说无限等分的时候的确是每一项误差趋近于0 但项数是无穷多
根据未定式 0*无穷 是可以有不同答案的 可以等于无穷 也可以等于某个数 还可以等于0
这时候你就得给他用通俗的语言解释清楚 什么叫同阶无穷小 什么叫高阶无穷小了
还是用阿基米德无限分圆旋转这个问题来举例：
估算误差 最后会得出一个（δ-sinδ）/δ 在δ趋近于0的时候的极限（还有些固定值系数记不清了）
这个δ-sinδ 用泰勒一看就是δ的3阶无穷小 当然 也可以用罗必塔来解释为什么是3阶无穷小 所以这个0*无穷 就是等于0
初等数学用无限细分 最后误差趋近于0的问题我敢肯定 用这类方式都可以解释的通

回到你的这个最简单模型
设这条直线的斜率是k
你把[a,b]这个区间分成了 （b-a）/dx等份
每一份的误差 也就是那个小三角形的面积是：1/2*dx*kdx
所有的误差小三角形都是全等的 那么总误差就是：（b-a）/dx *1/2*k(dx)^2=k(b-a)dx/2
a b k都是有限实数 那么这个总误差在dx趋近于0的时候就是等于0
这里蕴含着的其实还是高阶无穷小 只是因为这个模型最简单 所以那个（dx）^2的高阶无穷小直接就算出来了
感觉你家孩子应该还没思考到这一步 ta可能连x+δx=x（在δx趋于零）或者n乘以δx等于0（n为任意实数 δx趋于零）都理解不了
理解不了就不用强求了 我看版上回复的很多成年人也未必能真的理解

另一种方法就是楼里有人说的 用上确界和下确界的方式去夹逼
【 在 xviivx 的大作中提到: 】
: 在跟小孩解释积分求面积的时候，
: 用了下面的图说明，
: 每细分一次，就越接近真实面积，
: ...................
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