- 主题:0.循环9=1的严格证明zz
这里涉及到一个比较有意思的问题，就是0.9的循环本身是不是一个数。
因为0.9的循环是由除法竖式计算1 除以 9得到的中间过程，并没有终结。而乘法竖式本身是一套对符号的操作。并没有任何论证这个在有限步完结的符号操作是可以推广到无限步的。
所以0.9的循环并不是一个确定的数，因为你没算完。
【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: 所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。
: 下面是网上找的一个证明，个人觉得还比较靠谱。
: 先从把问题转为严谨的数学表述开始，通过实数稠密性和阿基米德公理，证明两者间不存在任何实数，进而证明两者是同一个数的不同形式。
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你这个属于循环论证了呢。
如果我凭空定义一个0.999....这么个东西，那自然是可以的。（事实上所有引入0.99999这个玩意儿都是基于某种对0.33333进行了四则运算之后得到的结果。）
然后你就需要对这个数的计算进行定义。你怎么把对有限位操作的那些四则运算扩展到对你所定义的这种形状的数上面去呢？这就是个问题。
实际上需要论证0.9999...这个玩意儿等于1就说明了使用有限位数表示一个实数，与你所定义的那个无限循环法表示一个实数的时候得到的形状是不一样的。这就说明这两个玩意儿起码在某个地方是有区别的。机智如你说说看它俩区别在哪里？
【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: 我发现很多人对无限循环小数的理解就是错的，无限是表明它有无数位，循环是对它后面各位数字出现规律的描述，并不表示它是循环滚动出来的。像0.999....也可以叫无限全是9小数。除式计算演示它与分数间的关系，但并不是它的生成方式。
: 无限小数包含后面位有或没有固定循环节的小数，前者起名无限循环小数，有理数，后者起名无限不循环小数，无理数
: 就是个名字，但不管名字怎么叫，所有无限小数都是定值，π和这0.999...都是定值。
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我一直以为小学教育版需要使用非常初等的方法去引入问题。循环小数的引入本来就是十进制除法除不尽的情况作为奇特的表示结果的方法。有什么问题吗？
你给的这个基于数列前n项和的极限的定义跟除法那个其实说的是一回事儿。
你给出了数列的通项，我们可以求出前n项和。然后你说这玩意儿是个级数，这个级数值等于一。首先级数不是级数和。这个级数是收敛的，这个级数前n项和的极限是1.这个都没什么问题。
问题在于你给的定义只能出现有限项的9.你论证的是当n趋近于无穷时这个很多9的前n项和趋近于一。而0.9（9的循环）在你的定义里面并没有出现。你看是不是这样？
【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: 什么哟，怎么会一个数是由什么除法竖式计算的。。。
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: 十进制的定义很清楚，0.9… = 0.1*9+0.01*9+…，这是一个公比小于1的等比数列组成的级数，他的值很确定，就是1
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