- 主题:请教给小孩解释积分概念遇到的问题
对于无限分问题
我家孩子前几天也有类似的疑惑
你也可以换个思路给你家孩子解释 我给你提供一种思路
前几天他对阿基米德用无限偶数等分圆的旋转算球表面积那个方式产生了疑惑
他说无限等分的时候的确是每一项误差趋近于0 但项数是无穷多
根据未定式 0*无穷 是可以有不同答案的 可以等于无穷 也可以等于某个数 还可以等于0
这时候你就得给他用通俗的语言解释清楚 什么叫同阶无穷小 什么叫高阶无穷小了
还是用阿基米德无限分圆旋转这个问题来举例:
估算误差 最后会得出一个(δ-sinδ)/δ 在δ趋近于0的时候的极限(还有些固定值系数记不清了)
这个δ-sinδ 用泰勒一看就是δ的3阶无穷小 当然 也可以用罗必塔来解释为什么是3阶无穷小 所以这个0*无穷 就是等于0
初等数学用无限细分 最后误差趋近于0的问题我敢肯定 用这类方式都可以解释的通
回到你的这个最简单模型
设这条直线的斜率是k
你把[a,b]这个区间分成了 (b-a)/dx等份
每一份的误差 也就是那个小三角形的面积是:1/2*dx*kdx
所有的误差小三角形都是全等的 那么总误差就是:(b-a)/dx *1/2*k(dx)^2=k(b-a)dx/2
a b k都是有限实数 那么这个总误差在dx趋近于0的时候就是等于0
这里蕴含着的其实还是高阶无穷小 只是因为这个模型最简单 所以那个(dx)^2的高阶无穷小直接就算出来了
感觉你家孩子应该还没思考到这一步 ta可能连x+δx=x(在δx趋于零)或者n乘以δx等于0(n为任意实数 δx趋于零)都理解不了
理解不了就不用强求了 我看版上回复的很多成年人也未必能真的理解
另一种方法就是楼里有人说的 用上确界和下确界的方式去夹逼
【 在 xviivx 的大作中提到: 】
: 在跟小孩解释积分求面积的时候,
: 用了下面的图说明,
: 每细分一次,就越接近真实面积,
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你说的这个问题归根结底是数轴的稠密性
现在已经严谨的解决了
用通俗的语言去讲 那就是实数轴是稠密的 不能再加进去新定义的数
网上 绝大多数讲0.99999999999999999...=1的都讲不到这一点
所以那些视频的作者其实也是半瓶水
【 在 che 的大作中提到: 】
: 一堆人扯什么无限接近,这本来就是错的,都是国内大学出来的吧,一个错误传几十代是中国的传统。数学家就为这个问题吵了几百年,就是用无限逼近法定义的微积分概念都是说不清楚的和不严谨的,无穷接近和等于不是一回事,一个接近于0又不等于0的无穷小量到底是什么玩意,没有
: 桓龃罄心芙馐颓宄,一堆大佬解释来解释去,没有一个讲法能让大家都接受,小孩子的直觉是对的,你觉得你们能比牛顿莱布尼兹这些大佬强?可惜国内只要讲微积分的书都拿这个求面积问题来开头,导致所有人一开始就学了个不严谨的概念,然后还强迫下一代接受这个错误概念,反正无
: 限接近就是等于,你记着就行了。这个解释不清楚,所有史前大佬都认为微积分不严谨,不是科学,而是玄学,只能集体装聋作哑了几百年,反正也没人解释的清楚,就凑合用呗,反正结果是对的。一直到柯西以后才拿出一个大家都认可的微积分的定义,就是用极限定义的,从逻辑上无懈
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怎么解释 无穷多个 无穷小想加还是0?
能解释的通就得知道高阶无穷小这类的概念才行
否则都是“凭感觉”
【 在 prettyPIG 的大作中提到: 】
: 你这个图就很好啊
: 你把这个图例换成围棋子,那个小尖角由大的例如4粒长度的,慢慢的变成3,2,1,最后是0.然后就是解释最小是多小,极限小就是一个小小小小的点?
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你这种 还是不要参与孩子教育的好
因为你自己都没搞懂什么叫循环论证
【 在 content 的大作中提到: 】
: 你这水平就别教了
: 证明给他看啊
: 三分之一等于0.3的循环
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定积分这事 得先搞清楚不定积分
搞清楚f(x)dx=F(x+dx)-F(x)或者=F(x)-F(x-dx)
这表明f(x)是F(x)的导函数
或者说F(x)是f(x)的原函数
这一步无非就是导函数的定义规定
这一步搞清楚了 接下来的定积分计算就是初中生都能懂的问题了
中间所有项正负相消 只剩头尾两项
至于为什么无穷多项的 无穷小余项(或者说误差项)相加 最后得出的总误差还是无穷小量
很多人囫囵吞枣的学完微积分也都没思考过这个问题
最大误差估算 也就是全都用矩形来估算误差 在[a,b]区间得出的总误差最大值是:
(b-a)/f'(c)dx/ 这里的/f'(c)/表示 [a,b]区间 导数的绝对值最大值那点的导数值
如果没记错的话 dx这个幽灵在几百年前困扰了所有的数学家 包括牛逼顿之类的大神
【 在 AdmireLiBai 的大作中提到: 】
: 别忘了数学是民科重灾区
: 不要说民科了
: 水木这种高知论坛学了点儿高数就开始瞎比比也一堆堆的
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