- 主题:请教给小孩解释积分概念遇到的问题
先得建立无穷和极限概念
可以跟他讲讲芝诺悖论，两种视角的差异
比较接近现实，容易理解
【 在 xviivx 的大作中提到: 】
: 在跟小孩解释积分求面积的时候，
: 用了下面的图说明，
: 每细分一次，就越接近真实面积，
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你是错的
无限下去就是相等，就跟0.9999999....=1一样
只有在有限下，才是逼近
【 在 changqing 的大作中提到: 】
: 孩子是对的。要鼓励他这样朴素的直觉，非常重要。
: 只能无限逼近，不能相等。
: 对于极限的抽象理解，以后再说。
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我跟娃解释无穷小或者极限概念，就是用芝诺悖论来说明的
假设人以2m/s速度去追2米远的1m/s的乌龟
凡是觉得追不上乌龟的，其实都是思维在某个很小的有限量上停住了
实际上无限小量就是0，在追乌龟上, lim(1/2^n) = 0
微观无限细分视角：追及时间=lim(1+1/2_+1/4+....)=2
宏观视角：追及时间 = 距离差/速度差=2/(2-1)=2
两种视角是等价的
【 在 che 的大作中提到: 】
: 一堆人扯什么无限接近，这本来就是错的，都是国内大学出来的吧，一个错误传几十代是中国的传统。数学家就为这个问题吵了几百年，就是用无限逼近法定义的微积分概念都是说不清楚的和不严谨的，无穷接近和等于不是一回事，一个接近于0又不等于0的无穷小量到底是什么玩意，没有
: 桓龃罄心芙馐颓宄，小孩子的直觉是对的，你觉得你们能比牛顿莱布尼兹这些大佬强？可惜国内只要讲微积分的书都拿这个求面积问题来开头，导致所有人一开始就学了个不严谨的概念，然后还强迫下一代接受这个错误概念，反正无限接近就是等于，你记着就行了。这个解释不清楚，所有
: 史前大佬都认为微积分不严谨，不是科学，而是玄学，只能集体装聋作哑了几百年，反正也没人解释的清楚，就凑合用呗，反正结果是对的。一直到柯西以后才拿出一个大家都认可的微积分的定义，就是用极限定义的，从逻辑上无懈可击，不过这小学生很难理解，跟前面那个追乌龟有点类
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可以设计一个芝诺悖论的场景让娃理解
10m/s的人去追前方9米处1m/s的乌龟，多久能追上？
宏观视角：9/(10-1)=1秒
微观视角：
人花了9/10=0.9秒跑完差距9米，然后乌龟往前又跑了0.9x1=0.9m
人再花0.9/10=0.09秒跑完差距，乌龟又跑了0.09x1=0.09m
。。。。
最后人追赶时间=0.9+0.09+......=0.999999.....
在有限细分下，不管多小，人永远是落后于乌龟的
但无穷后，或者极限后，lim(0.9999.....) = 1
【 在 lilicheng 的大作中提到: 】
: 你先能让她理解0.9的循环等于1再说吧，就这都没多少人懂
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一边造娃，一边算微积分
效果杠杠的
【 在 daut 的大作中提到: 】
: 小学生学数学分析？估计内卷要从受精开始了。
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FROM 123.114.94.*
哪本书不知道，但柯西是通过先定义极限，然后再去严格定义无穷小量和微积分
某个玩意同一固定值之间的差可以随意的小，这个值就是这玩意的极限
所以无限小量就是个极限为0的玩意
后来整理成我们现在学的ε-δ表述
【 在 shouzhen 的大作中提到: 】
: 幸桓龃罄心芙馐颓宄，一堆大佬解释来解释去，没有一个讲法能让大家都接受，小孩子的直觉是对的，你觉得你们能比牛顿莱布尼兹这些大佬强？可惜国内只要讲微积分的书都拿这个求面积问题来开头，导致所有人一开始就学了个不严谨的概念，然后还强迫下一代接受这个错误概念，反正
: 无限接近就是等于，你记着就行了。这个解释不清楚，所有史前大佬都认为微积分不严谨，不是科学，而是玄学，只能集体装聋作哑了几百年，反正也没人解释的清楚，就凑合用呗，反正结果是对的。一直到柯西以后才拿出一个大家都认可的微积分的定义，就是用极限定义的，从逻辑上无
: 缚苫鳎还庑⊙苣牙斫猓懊婺歉鲎肺诠暧械憷嗨疲忝且『⒋蚣ρ裁晃侍猓烧庋豢季透『⒐嗍浯砦蟮睦砟罨骨科热思医邮埽芸赡芑崾实闷浞础
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FROM 123.114.94.*
无限分去讲微积分没问题
质疑不相等的其实都是思维不由自主的停留在某个有限小量上了而已
所以我才觉得芝诺悖论有助于理解极限
因为两种视角都可以理解，而两者又必然统一
之所以有人觉得微观追不上，也是因为他思维在无限逼近的某处下意识停了
柯西之前，无限小量没有数学上的严密定义
数学家们不喜欢这种模糊的说法：什么叫无限趋近于0？
就跟物理学家不喜欢波粒二象性一样，啥叫既波又粒?
ε-δ只是换了一种定义方式来严格定义无限小量而已
但既然严密性得到保证，讲究逻辑推演的数学家就认可了。
用ε-δ的来玩极限、无限小量
在我看来就类似于使用数学归纳法来证明无限情况下都成立
【 在 che 的大作中提到: 】
: 小孩子能理解这个？那真是天才了，反正用求面积问题讲不清楚微积分就对了，能讲清楚才是见了鬼了。这种凡是用无限分的方法给你讲微积分的那大部分自己都没搞清楚，一开始就走上了错误的路，咋能绕的回来。正是因为讲不清楚，人类才换了ε-δ这条路，然后一切都能一步一步讲清
: 楚了。
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FROM 123.114.94.*
柯西提出极限，但现在用的ε—δ表述是另外一个数学家提出的，名字忘了
【 在 shouzhen 的大作中提到: 】
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: 好的，谢谢，艺圃谁龙那个定义是知道的，原来是出自柯西啊，长知识了，哈哈
: 【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: : 哪本书不知道，但柯西是通过先定义极限，然后再去严格定义无穷小量和微积分
: : 某个玩意同一固定值之间的差可以随意的小，这个值就是这玩意的极限
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FROM 123.114.94.*
先有极限，后有微分、积分
但跟娃讲，没必要一板一眼的，有个基本概念就行
【 在 marion 的大作中提到: 】
: 我记得讲微积分首先要将无穷级数和夹逼定理吧，夹逼定理在这儿需要两个无穷级数，一组始终多一点小块、另一组始终少一点小块
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FROM 123.114.92.*
no，目前的物理理论表明，真实世界是离散的
【 在 melodyoflife 的大作中提到: 】
: 真实的世界就是无限细分的世界，所见不一定就是那样，也可能看不了那么细而已……
: 发自「今日水木 on iPhone 12」
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FROM 123.114.92.*